数学符号表

数学符号表本文规定了 OI Wiki 中数学符号的推荐写法，并给出了一些应用范例。

本文参考了 GB/T 3102.11-1993 和 ISO 80000-2:2019 修订，故基本与国内通行教材的符号体系兼容。

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数理逻辑编号符号，表达式意义，等同表述备注与示例n1.1p∧qp 和 q 的合取p 与 q.n1.2p∨qp 和 q 的析取p 或 q;此处的 "或" 是包含的，即若 p，q 中有一个为真陈述，则 p∨q 为真。n1.3¬pp 的否定非 p.n1.4p⟹qp 蕴含 q;若 p 为真，则 q 为真q⟸p 和 p⟹q 同义。n1.5p⟺qp 等价于 q(p⟹q)∧(q⟹p) 和 p⟺q 同义。n1.6(∀ x∈A) p(x)对 A 中所有的 x, 命题 p(x) 均为真如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 A, 可以使用记号 (∀ x) p(x).∀ 称为全称量词。x∈A 的含义见 n2.1.n1.7(∃ x∈A) p(x)存在一个属于 A 的 x 使得 p(x) 为真如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 A, 可以使用记号 (∃ x) p(x).∃ 称为存在量词。x∈A 的含义见 n2.1.(∃! x) p(x)（唯一量词）用来表示恰有一个 x 使得 p(x) 为真。∃! 也可以写作 ∃1.集合论编号符号，表达式意义，等同表述备注与示例n2.1x∈Ax 属于 A，x 是集合 A 中的元素A∋x 和 x∈A 同义。n2.2y∉Ay 不属于 A，y 不是集合 A 中的元素n2.3{x1,x2,…,xn}含元素 x1,x2,…,xn 的集合也可写作 {xi | i∈I}, 其中 I 表示指标集。n2.4{x∈A | p(x)}A 中使命题 p(x) 为真的所有元素组成的集合例如 {x∈R | x≥5};如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 A，可以使用符号 {x | p(x)}（如在只考虑实数集时可使用 {x | x≥5}）| 也可以使用冒号替代，如 {x∈A:p(x)}.n2.5cardA;|A|A 中的元素个数，A 的基数n2.6∅空集不应使用 ∅.n2.7B⊆AB 包含于 A 中，B 是 A 的子集B 的每个元素都属于 A.⊂ 也可用于该含义，但请参阅 n2.8 的说明。A⊇B 和 B⊆A 同义。n2.8B⊂AB 真包含于 A 中，B 是 A 的真子集B 的每个元素都属于 A, 且 A 中至少有一个元素不属于 B.若 ⊂ 的含义取 n2.7, 则 n2.8 对应的符号应使用 ⊊.A⊃B 与 B⊂A 同义。n2.9A∪BA 和 B 的并集A∪B:={x | x∈A∨x∈B};:= 的定义参见 n4.3n2.10A∩BA 和 B 的交集A∩B:={x | x∈A∧x∈B};:= 的定义参见 n4.3n2.11⋃i=1nAi集合 A1,A2,…,An 的并集⋃i=1nAi=A1∪A2∪⋯∪An;也可使用 ⋃i=1n，⋃i∈I，⋃i∈I, 其中 I 表示指标集n2.12⋂i=1nAi集合 A1,A2,…,An 的交集⋂i=1nAi=A1∩A2∩⋯∩An;也可使用 ⋂i=1n，⋂i∈I，⋂i∈I, 其中 I 表示指标集n2.13A∖BA 和 B 的差集A∖B={x | x∈A∧x∉B};不应使用 A−B;当 B 是 A 的子集时也可使用 ∁AB, 如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 A，则 A 可以省略。不引起歧义的情况下也可使用 B― 表示集合 B 的补集。n2.14(a,b)有序数对 a，b;有序偶 a，b(a,b)=(c,d) 当且仅当 a=c 且 b=d.n2.15(a1,a2,…,an)有序 n 元组参见 n2.14.n2.16A×B集合 A 和 B 的笛卡尔积A×B={(x,y) | x∈A∧y∈B}.n2.17∏i=1nAi集合 A1,A2,…,An 的笛卡尔积∏i=1nAi={(x1,x2,…,xn) | x1∈A1,x2∈A2,…,xn∈An};A×A×⋯×A 记为 An, 其中 n 是乘积中的因子数。n2.18idAA×A 的对角集idA={(x,x) | x∈A};如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 A, 则 A 可以省略。标准数集和区间编号符号，表达式意义，等同表述备注与示例n3.1N自然数集N={0,1,2,3,…};N∗=N+={1,2,3,…};可用如下方式添加其他限制：N>5={n∈N | n>5};也可使用 N.n3.2Z整数集Z∗=Z+={n∈Z | n≠0};可用如下方式添加其他限制：Z>−3={n∈Z | n>−3};也可使用 Z.n3.3Q有理数集Q∗=Q+={r∈Q | r≠0};可用如下方式添加其他限制：Q<0={r∈Q | r<0};也可使用 Q.n3.4R实数集R∗=R+={x∈R | x≠0};可用如下方式添加其他限制：R>0={x∈R | x>0};也可使用 R.n3.5C复数集C∗=C+={z∈C | z≠0};也可使用 C.n3.6P（正）素数集P={2,3,5,7,11,13,17,…};也可使用 P.n3.7[a,b]a 到 b 的闭区间[a,b]={x∈R | a≤x≤b}.n3.8(a,b]a 到 b 的左开右闭区间(a,b]={x∈R | aab 大于 an4.10a≤ba 小于等于 bn4.11b≥ab 大于等于 an4.12a≪ba 远小于 bn4.13b≫ab 远大于 an4.14∞无穷大该符号 不 是数字。也可以使用 +∞，−∞.n4.15x→ax 趋近于 a一般出现在极限表达式中。a 也可以为 ∞，+∞，−∞.n4.16m∣nm 整除 n对整数 m，n:(∃ k∈Z) m⋅k=n.n4.17m⊥nm 与 n 互质对整数 m，n:(∄ k∈Z>1) (k∣m)∧(k∣n);该符号的另一种用法参见 n5.2n4.18n≡k(modm)n 模 m 与 k 同余对整数 n，k，m:m∣(n−k);不要与 n4.1 中提到的相混淆。初等几何学编号符号，表达式意义，等同表述备注与示例n5.1∥平行n5.2⊥垂直该符号的另一种用法参见 n4.17n5.3∠（平面）角n5.4AB―线段 ABn5.5AB→有向线段 ABn5.6d(A,B)点 A 和 B 之间的距离即 AB― 的长度。运算符编号符号，表达式意义，等同表述备注与示例n6.1a+ba 加 bn6.2a−ba 减 bn6.3a±ba 加或减 bn6.4a∓ba 减或加 b−(a±b)=−a∓b.n6.5a⋅b;a×b;aba 乘 b若出现小数点，则应只使用 ×;部分用例参见 n2.16,n2.17,n14.11,n14.12n6.6ab;a/b;a:ba 除以 bab=a⋅b−1;可用 : 表示同一量纲的数值的比率。不应使用 ÷.n6.7∑i=1naia1+a2+⋯+an也可使用 ∑i=1nai，∑iai，∑iai，∑ai.n6.8∏i=1naia1⋅a2⋅⋯⋅an也可使用 ∏i=1nai，∏iai，∏iai，∏ai.n6.9apa 的 p 次幂n6.10a1/2;aa 的 1/2 次方，a 的平方根应避免使用 a.n6.11a1/n;ana 的 1/n 次幂，a 的 n 次根应避免使用 na.n6.12x¯;x¯ax 的算数均值其他均值有：调和均值 x¯h;几何均值 x¯g;二次均值/均方根 x¯q 或 x¯rms.x¯ 也用于表示复数 x 的共轭，参见 n11.6.n6.13sgnaa 的符号函数对实数 a:sgna=1(a>0);sgna=−1(a<0);sgn0=0;参见 n11.7.n6.14infMM 的下确界小于等于非空集合 M 中元素的最大上界。n6.15supMM 的上确界大于等于非空集合 M 中元素的最小下界。n6.16|a|a 的绝对值也可使用 absa.n6.17⌊a⌋向下取整小于等于实数 a 的最大整数例如：⌊2.4⌋=2;⌊−2.4⌋=−3.n6.18⌈a⌉向上取整大于等于实数 a 的最小整数例如：⌈2.4⌉=3;⌈−2.4⌉=−2.n6.19min(a,b);min{a,b}a 和 b 的最小值可推广到有限集中。要表示无限集中的最小值建议使用 inf, 参见 n6.14n6.20max(a,b);max{a,b}a 和 b 的最大值可推广到有限集中。要表示无限集中的最大值建议使用 sup, 参见 n6.15n6.21nmodmn 模 m 的余数对正整数 n，m:(∃ q∈N,r∈[0,m)) n=qm+r;其中 r=nmodm.n6.22gcd(a,b);gcd{a,b}整数 a 和 b 的最大公因数可推广到有限集中。不引起歧义的情况下可写为 (a,b).n6.23lcm(a,b);lcm{a,b}整数 a 和 b 的最小公倍数可推广到有限集中。不引起歧义的情况下可写为 [a,b];(a,b)[a,b]=|ab|.组合数学本节中的 n 和 k 是自然数，a 是复数，且 k≤n.

编号符号，表达式意义，等同表述备注与示例n7.1n!阶乘n!=∏k=1nk=1⋅2⋅3⋅⋯⋅n(n>0);0!=1.n7.2ak―下降阶乘幂ak―=a⋅(a−1)⋅⋯⋅(a−k+1)(k>0);a0―=1;nk―=n!(n−k)!.也可以用 (a)−k.n7.3ak―上升阶乘幂ak―=a⋅(a+1)⋅⋯⋅(a+k−1)(k>0);a0―=1;nk―=(n+k−1)!(n−1)!.也可以用 (a)+k.n7.4(nk)组合数(nk)=n!k!(n−k)!.n7.5[nk]第一类 Stirling 数[n+1k]=n[nk]+[nk−1];xn―=∑k=0n[nk]xk.n7.6{nk}第二类 Stirling 数{nk}=1k!∑i=0k(−1)i(ki)(k−i)n;∑k=0n{nk}xk―=xn.函数编号符号，表达式意义，等同表述备注与示例n8.1f函数n8.2f(x)，f(x1,…,xn)函数 f 在 x 处的值函数 f 在 (x1,…,xn) 处的值n8.3domff 的定义域也可使用 D(f).n8.4ranff 的值域也可使用 R(f).n8.5f:A→Bf 是 A 到 B 的映射domf=A 且 (∀ x∈domf) f(x)∈B.n8.6x↦T(x),x∈A将所有 x∈A 映射到 T(x) 的函数T(x) 仅用于定义，用来表示某个参数为 x∈A 的某个函数值。若这个函数为 f, 则对所有 x∈A 均有 f(x)=T(x). 因此 T(x) 通常用来定义函数 f.例如：x↦3x2y,x∈[0,2];这是由 3x2y 定义的一个关于 x 的二次函数。若未引入函数符号，则用 3x2y 表示该函数n8.7f−1f 的反函数函数 f 的反函数 f−1 有定义当且仅当 f 是单射。若 f 是单射，则 dom(f−1)=ranf，ran(f−1)=domf, 且 (∀ x∈domf) f−1(f(x))=x.不要与函数的倒数 f(x)−1 混淆。n8.8g∘ff 和 g 的复合函数(g∘f)(x)=g(f(x)).n8.9f:x↦yf(x)=y，f 将 x 映射到 yn8.10f|ab;f(…,u,…)|u=au=bf(b)−f(a);f(…,b,…)−f(…,a,…)主要用于定积分的计算中。n8.11limx→af(x);limx→af(x)当 x 趋近于 a 时 f(x) 的极限limx→af(x)=b 可以写成 f(x)→b(x→a).右极限和左极限的符号分别为 limx→a+f(x) 和limx→a−f(x).n8.12f(x)=O(g(x))|f(x)/g(x)| 在上下文隐含的限制中有上界，f(x) 的阶不高于 g(x)当 f/g 与 g/f 均有界时称 f 与 g 是同阶的。使用符号 "=" 是出于历史原因，其在此处不表示等价，因为不满足传递性。例如：sin⁡x=O(x)(x→0).n8.13f(x)=o(g(x))在上下文隐含的限制中有 f(x)/g(x)→0，f(x) 的阶高于 g(x)使用符号 "=" 是出于历史原因，其在此处不表示等价，因为不满足传递性。例如：cos⁡x=1+o(x)(x→0).n8.14Δff 的有限增量上下文隐含的两函数值的差分。例如：Δx=x2−x1;Δf(x)=f(x2)−f(x1).n8.15dfdx;f′f 对 x 的导（函）数仅用于一元函数。可以显式指明自变量，如 df(x)dx，f′(x).n8.16(dfdx)x=a;f′(a)f 在 a 处的导（函）数值参见 n8.15n8.17dnfdxn;f(n)f 对 x 的 n 阶导（函）数仅用于一元函数。可以显式指明自变量，如 dnf(x)dxn，f(n)(x).可用 f″ 和 f‴ 分别表示 f(2) 和 f(3).n8.18∂f∂x;fxf 对 x 的偏导数仅用于多元函数。可以显式指明自变量，如 ∂f(x,y,…)∂x，fx(x,y,…).可以扩展到高阶，如 fxx=∂2f∂x2=∂∂x(∂f∂x);fxy=∂2f∂y∂x=∂∂y(∂f∂x).n8.19∂(f1,…,fm)∂(x1,…,xn)Jacobi 矩阵参见1n8.20dff 的全微分df(x,y,…)=∂f∂xdx+∂f∂ydy+….n8.21δff 的（无穷小）变分n8.22∫f(x)dxf 的不定积分n8.23∫abf(x)dxf 从 a 到 b 的定积分也可使用 ∫abf(x)dx;定积分还可以定义在更一般的域上。如 ∫C，∫S，∫V，∮, 分别表示在曲线 C, 曲面 S, 三维区域 V, 和闭曲线或曲面上的定积分。多重积分可写成 ∬，∭ 等。n8.24f∗g函数 f 和 g 的卷积(f∗g)(x)=∫−∞∞f(y)g(x−y)dy.指数和对数函数x 可以是复数。

编号符号，表达式意义，等同表述备注与示例n9.1e自然对数的底e=limn→∞(1+1n)n=2.718 281 8…;不要写成 e.n9.2axx 的指数函数（以 a 为底）参见 n6.9.n9.3ex;exp⁡xx 的指数函数（以 e 为底）n9.4loga⁡xx 的以 a 为底的对数当底数不需要指定的时候可以使用 log⁡x.不应用 log⁡x 替换 ln⁡x，lg⁡x，lbx 中的任意一个。n9.5ln⁡xx 的自然对数ln⁡x=loge⁡x;参见 n9.4.n9.6lg⁡xx 的常用对数lg⁡x=log10⁡x;参见 n9.4.n9.7lbxx 的以 2 为底的对数lbx=log2⁡x;参见 n9.4.三角函数和双曲函数编号符号，表达式意义，等同表述备注与示例n10.1π圆周率π=3.141 592 6….n10.2sin⁡xx 的正弦sin⁡x=eix−e−ix2i;(sin⁡x)n，(cos⁡x)n(n≥2) 等通常写为 sinn⁡x，cosn⁡x 等。n10.3cos⁡xx 的余弦cos⁡x=sin⁡(x+π/2).n10.4tan⁡xx 的正切tan⁡x=sin⁡x/cos⁡x;不可使用 tgx.n10.5cot⁡xx 的余切cot⁡x=1/tan⁡x;不可使用 ctgx.n10.6sec⁡xx 的正割sec⁡x=1/cos⁡x.n10.7csc⁡xx 的余割csc⁡x=1/sin⁡x;不可使用 cosecx.n10.8arcsin⁡xx 的反正弦y=arcsin⁡x⟺x=sin⁡y(−π/2≤y≤π/2).n10.9arccos⁡xx 的反余弦y=arccos⁡x⟺x=cos⁡y(0≤y≤π).n10.10arctan⁡xx 反正切y=arctan⁡x⟺x=tan⁡y(−π/2≤y≤π/2);不可使用 arctgx.n10.11arccotxx 反余切y=arccotx⟺x=cot⁡y(0≤y≤π);不可使用 arcctgx.n10.12arcsecxx 反正割y=arcsecx⟺x=sec⁡y(0≤y≤π,y≠π/2).n10.13arccscxx 的反余割y=arccscx⟺x=csc⁡y(−π/2≤y≤π/2,y≠0);不可使用 arccosecx.n10.14sinh⁡xx 的双曲正弦sinh⁡x=ex−e−x2;不可使用 shx.n10.15cosh⁡xx 的双曲余弦cosh2⁡x=sinh2⁡x+1;不可使用 chx.n10.16tanh⁡xx 的双曲正切tanh⁡x=sinh⁡x/cosh⁡x;不可使用 thx.n10.17coth⁡xx 的双曲余切coth⁡x=1/tanh⁡x.n10.18sechxx 的双曲正割sechx=1/cosh⁡x.n10.19cschxx 的双曲余割cschx=1/sinh⁡x;不可使用 cosechx.n10.20arsinhxx 的反双曲正弦y=arsinhx⟺x=sinh⁡y;不可使用 arshx.n10.21arcoshxx 的反双曲余弦y=arcoshx⟺x=cosh⁡y(y≥0);不可使用 archx.n10.22artanhxx 的反双曲正切y=artanhx⟺x=tanh⁡y;不可使用 arthx.n10.23arcothxx 的反双曲余切y=arcothx⟺x=coth⁡y(y≠0).n10.24arsechxx 的反双曲正割y=arsechx⟺x=sechy(y≥0).n10.25arcschxx 的反双曲余割y=arcschx⟺x=cschy(y≥0);不可使用 arcosechx.复数编号符号，表达式意义，等同表述备注与示例n11.1i虚数单位i2=−1;不可使用 i 或 in11.2Rezz 的实部参见 n11.3.n11.3Imzz 的虚部若 z=x+iy(x,y∈R), 则 x=Rez，y=Imz.n11.4|z|z 的模|z|=(Rez)2+(Imz)2.n11.5arg⁡zz 的辐角若 z=reiφ, 其中 r=|z| 且 −π<φ≤π, 则 φ=arg⁡z.Rez=rcos⁡φ，Imz=rsin⁡φ.n11.6z¯;z∗z 的复共轭z¯=Rez−iImz.n11.7sgnzz 的单位模函数sgnz=z/|z|=exp⁡(iarg⁡z)(z≠0);sgn0=0;参见 n6.13.矩阵编号符号，表达式意义，等同表述备注与示例n12.1A;参见2m×n 型矩阵 Aaij=(A)ij;也可使用 A=(aij). 其中 m 为行数，n 为列数m=n 时称为方阵可用方括号替代圆括号。n12.2A+B矩阵 A 和 B 的和(A+B)ij=(A)ij+(B)ij;矩阵 A 和 B 的行数和列数必须分别相同。n12.3xA标量 x 和矩阵 A 的乘积(xA)ij=x(A)ij.n12.4AB矩阵 A 和 B 的乘积(AB)ik=∑j(A)ij(B)jk;矩阵 A 的列数必须等于矩阵 B 的行数。n12.5I;E单位矩阵(I)ik=δik;δik 的定义参见 n14.9.n12.6A−1方阵 A 的逆AA−1=A−1A=I(det⁡A≠0).det⁡A 的定义参见 n12.10.n12.7AT;A′A 的转置矩阵(AT)ik=(A)ki.n12.8A―;A∗A 的复共轭矩阵(A―)ik=(A)ik―.n12.9AH;A†A 的 Hermite 共轭矩阵AH=(A―)T.n12.10det⁡A;参见3方阵 A 的行列式也可使用 |A|.n12.11rankA矩阵 A 的秩n12.12trA方阵 A 的迹trA=∑i(A)ii.n12.13‖A‖矩阵 A 的范数满足三角不等式：若 A+B=C, 则 ‖A‖+‖B‖≥‖C‖.坐标系本节考虑三维空间中的一些坐标系。点 O 为坐标系的 原点。任意点 P 均由从原点 O 到点 P 的 位置向量 确定。

编号坐标位置向量和微分坐标名备注n13.1x，y，zr=xex+yey+zez;dr=dx ex+dy ey+dz ez笛卡尔坐标基向量 ex，ey，ez 构成右手正交系，见图 1 和图 4。基向量也可用 e1，e2，e3 或 i，j，k 表示，坐标也可用 x1，x2，x3 或 i，j，k 表示。n13.2ρ，φ，zr=ρ eρ+z ez;dr=dρ eρ+ρ dφ eφ+dz ez柱坐标eρ(φ)，eφ(φ)，ez 组成右手正交系，见图 2。若 z=0, 则 ρ 和 φ 是平面上的极坐标。n13.3r，ϑ，φr=rer;dr=dr er+r dϑ eϑ+r sin⁡ϑ dφ eφ球坐标er(ϑ,φ)，eϑ(ϑ,φ)，eφ(φ) 组成右手正交系，见图 3。如果不使用右手坐标系（见图 4），而使用左手坐标系（见图 5），则应在之前明确强调，以免符号误用。

图 1 右手笛卡尔坐标系

图 2 右手柱坐标系

图 3 右手球坐标系

图 4 右手坐标系

图 5 左手坐标系

标量和向量本节中，基向量用 e1，e2，e3 表示。本节中的许多概念都可以推广到 n 维空间。

标量和向量本身与坐标系的选择无关，而向量的每个标量分量与坐标系的选择有关。

对于基向量 e1，e2，e3, 每个向量 a 都可以表示为 a=a1e1+a2e2+a3e3, 其中 a1，a2 和 a3 是唯一确定的标量值，将其称为向量相对于该组基向量的 "坐标"，a1e1，a2e2 和 a3e3 称为向量相对于该组基向量的分向量。

在本节中，只考虑普通空间的笛卡尔（正交）坐标。笛卡尔坐标用 x，y，z 或 a1，a2，a3 或 x1，x2，x3 表示。

本节所有下标 i，j，k 的范围均为 1 到 3.

编号符号，表达式意义，等同表述备注与示例n14.1a;a→向量 an14.2a+b向量 a 和 b 的和(a+b)i=ai+bi.n14.3xa标量 x 与向量 a 的乘积(xa)i=xai.n14.4|a|向量 a 的大小，向量 a 的范数|a|=ax2+ay2+az2;也可使用 ‖a‖.n14.50;0→零向量零向量的大小为 0.n14.6eaa 方向的单位向量ea=a/|a|(a≠0).n14.7ex，ey，ez;e1，e2，e3笛卡尔坐标轴方向的单位向量也可使用 i，j，k.n14.8ax，ay，az;ai向量 a 的笛卡尔分量a=axex+ayey+azez;如果上下文确定了基向量，则向量可以写为 a=(ax,ay,az).ax=a⋅ex，ay=a⋅ey，az=a⋅ez;r=xex+yey+zez 是坐标为 x，y，z 的位置向量。n14.9δikKronecker delta 符号δik=1(i=k);δik=0(i≠k).n14.10εijkLevi-Civita 符号ε123=ε231=ε312=1;ε132=ε321=ε213=−1;其余的 εijk 均为 0.n14.11a⋅b向量 a 和 b 的标量积/内积a⋅b=∑iaibi.n14.12a×b向量 a 和 b 的向量积/外积右手笛卡尔坐标系中，(a×b)i=∑j∑kεijkajbk;εijk 的定义参见 n14.10.n14.13∇nabla 算子∇=ex∂∂x+ey∂∂y+ez∂∂z=∑iei∂∂xi.n14.14∇φ;gradφφ 的梯度∇φ=∑iei∂φ∂xi;grad 应使用 \operatorname{\mathbf{grad}}.n14.15∇⋅a;divaa 的散度∇⋅a=∑i∂ai∂xi;div 应使用 \operatorname{\mathbf{div}}.n14.16∇×a;rotaa 的旋度(∇×a)i=∑j∑kεijk∂ak∂xj;rot 应使用 \operatorname{\mathbf{rot}}.不应使用 curl.εijk 的定义参见 n14.10.n14.17∇2;ΔLaplace 算子∇2=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2.特殊函数本节中的 z，w 是复数，k，n 是自然数，且 k≤n。

编号符号，表达式意义，等同表述备注与示例n15.1γEuler–Mascheroni 常数γ=limn→∞(∑k=1n1k−ln⁡n)=0.577 215 6….n15.2Γ(z)gamma 函数Γ(z)=∫0∞tz−1e−tdt(Rez>0);Γ(n+1)=n!.n15.3ζ(z)Riemann zeta 函数ζ(z)=∑n=1∞1nz(Rez>1).n15.4B(z,w)beta 函数B(z,w)=∫01tz−1(1−t)w−1dt(Rez>0，Rew>0);B(z,w)=Γ(z)Γ(w)Γ(z+w);1(n+1)B(k+1,n−k+1)=(nk).∂(f1,…,fm)∂(x1,…,xn)=(∂f1∂x1⋯∂f1∂xn⋮⋱⋮∂fm∂x1⋯∂fm∂xn); 矩阵的定义参见 n12.1 ↩

(a11⋯a1n⋮⋱⋮am1⋯amn) ↩

|a11⋯a1n⋮⋮an1⋯ann| ↩

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